谈谈数学（或许还有其他理科自然科学）的学习——第一部分
数学的学习内容，从小学到大学本科阶段，我自己把它们分成两大类：知识型和技能（应用）型。所谓知识型，可以理解为：定义、公理、定理等。
所谓技能（应用）型，一般指解题的方法、技巧等。
不论知识型还是技能型的内容，其底层都存在有逻辑和原理：思维的方向，推理的过程，和相应的约束条件等。
知识型内容和技能型内容，是存在着非常大的区别的：
知识型的内容，如果理解了其背后的逻辑和原理，那么就是理解了——只有理解和不理解之分，没有中间选项——所谓的没有完全理解就是不理解。
对于知识型内容不理解，那就只有死记硬背一途——背公理、背定理——一字不差背下来。遇到的场景灵活一点，可能就会做出错误的判断。
而理解了以后，就能知道公理、定理的适用范围、推导思路，甚至历史上其诞生的来龙去脉，这时候即使换个说法，或许没有提炼得那么简洁，但是依然能够准确说清楚。
而技能型的内容，和知识型的不同，在于其可以很大程度上无视背后原理的理解程度，仅仅通过大量的、针对性的练习，就可以做到提升“熟题”的比例，提高技巧的熟练度，进而做到提升速度、准确率，也就是“提分”。
我们日常生活中看到的机构培训班，基本都是把关注重点，落在技能型内容的方面——没错，我说的就是“奥数”！
举两个极端一点的例子，来说明知识型和技能型内容的差异：
1、数学素养（知识）和口算能力（技能）。
一个经过了12年学习后刚刚考上211大学的学生，正处于其人生中最巅峰的知识储备（记忆）时期。其数学素养（知识），基本上是可以秒杀小学三年级学生的。但是你让这个新大学生和一群经过口算速算（技能）训练的小学三年级学生比赛速算，这个大学生被“秒杀”的概率绝对是很高的。
2、一位年逾花甲的数学专业教授，其在数学素养（知识）方面是可以碾压六年级学生的，但是你让丘成桐和北京某六年级学生当着撒贝宁的面做奥数题，邱先生是表示他做不来的。
今天只写到这里，剩下的以后有时间再打字发帖。
可惜能把知识型真正教好的不多。能教好知识型并辅以适当的技能型，普娃也能把校内数学学好学轻松 学校理科学习是个系统的问题，如果从小拼命只专注数学学习，对普娃来说到高年级可能就会吃力。 谢谢楼主分享 楼主辛苦，学习了 语数英语数英，其实数学是第二鸡的，反过来才是正常顺位 说的真好！ 分析的不错。 先加100，等写完了再加其他的。 打字辛苦了，学习 好好学习一下。 本帖最后由 鸡路漫漫 于 2020-6-18 11:52 编辑
不论知识型还是技能型的内容，其底层都存在有逻辑和原理：思维的方向，推理的过程，和相应的约束条件等。
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这不是正好说明了奥数的作用吗？理解知识要看娃，不是陶哲轩这种类型的，先通过奥数把这些底层练熟，到了能理解的时候，就可以转化用在推导知识上了。小学校数满足不了这个要求。当然机构的教法能不能培养这些，小孩学不学得到，那是另外一回事了。 谢谢分享～ 问：我是一名初二学生，请问您支持题海战术吗？
许晨阳：一般来讲我不支持题海战术，但我其实是很支持多做数学题的。
因为数学不像看小说，你看一遍就记住了，数学真的需要你拿笔出来算，来思考，你才能完全理解这个理论。可我不喜欢把同样的东西翻来覆去地练习很多遍，我不支持重复地做同样的题，因为这样没有什么太大的意义。但是，如果你需要进行一些训练，做一些题，通过这些题把理论完全掌握，有一个扎实的基础，这个我绝对是支持的。
我印象很深的一件事是，我当时通过数学竞赛进了国家集训队，数学集训队当时一个月大概有10多次小考、1次大考，几乎每两天就有一次小考，我觉得真是挺没意思的，后来集训队上课我就不去听，跑到大学里去跟别人学打太极拳。
我的意思是，当你意识到做很多数学题对你没有什么帮助时，你就不要再做题了。这只是我个人的答案，不算是一个标准答案。
数学学好了奥数就能好吗
问：您当年曾经进过数学竞赛国家集训队，在您看来奥数跟数学的关系是什么样的？是不是数学学好了奥数就能好，或者说奥数学好了数学就能好？你们当年集训队的人现在还有多少人在研究数学？
许晨阳：这个问题有不少人问过我，我以前还专门给国家集训队写过一篇文章，谈我对数学和奥数之间的看法。
我其实对数学竞赛的了解并不多，我唯一一次参加全国级别的数学竞赛是在1999年，最后幸运地入选进了国家集训队。我觉得，参加数学竞赛带给我的最大好处，就是认识了很多志同道合的朋友。我自己从小挺喜欢数学的，但我从没有想过将来要去从事数学研究。我参加奥数比赛的时候认识了很多也同样喜欢数学的孩子，我们经常在一起比赛，他们对我来说起到了一个正面的影响，我也渐渐有了当一名数学家的理想。
当年集训队的队员中，很多人和我都有着比较相似的兴趣爱好，我们有很多共同话题，比如都喜欢科学，除了数学还喜欢物理。我们那一两年参加奥数竞赛的人当中，虽然并不是每个人现在都从事数学研究，但最后成为数学家的比例还是挺高的。
北大数学学院中，大概有一半以上的学生不是通过奥数比赛被招进来的，他们常常来问我：如果以前的奥数不是那么优秀、那么出色的话，对学习大学数学有没有影响？其实从思维方式来讲，我个人觉得奥数与 大学数学 需要完全不同的思维方式。打个比方，奥数就好像是在一个很小的空间里玩一些非常花的技巧；而现代数学是在一个非常大的框架下去思考问题。有的人可能擅长于玩技巧，但也有的人擅长系统化的思考，当然后者更适合进行数学研究。
我的导师科拉曾经两度取得IMO（国际数学奥林匹克竞赛）金牌，但他却是匈牙利IMO队里为数不多的非特殊数学班的选手。我相信这种更加平衡的教育对他日后数学研究上的成功有很大益处。因此我建议对数学竞赛佼佼者进行更全面的教育，把数学竞赛视为整个科学甚至文化教育的一部分，我相信这对他们漫长的人生之路而言，是更有益的教育方式。
奥数对学数学有帮助吗
问：您刚才说数学和奥数是两个概念，那么您觉得对于从事数学研究的人来说，学习一些奥数知识会对事业有帮助吗？
许晨阳：大概在十年前，我有一次看了那年的奥数题，看了5分钟，一道题都不会做，我就放弃了。但是如果你现在让我做任何奥数题，只要给我一个星期的时间，我一定能做出来。
对于数学研究来说，不需要强调速度，而是强调有一个系统性的办法去思考问题；你一旦用系统性的办法去思考奥数题的话，我想一定能够找到答案。这就好像你已经开过100公里的时速，再开20公里的时速，你不会觉得太快。你一旦进行过数学研究之后，你就很难再觉得做奥数题是一件有意思的事情，起码我自己没有这种感觉了。
许晨阳，1981年生，2008年，获得普林斯顿大学博士学位，2013年成为北京国际数学研究中心教授。2017年，许晨阳荣获“未来科学大奖-数学与计算机科学奖”，并获得100万美元奖金，以表彰他在双有理代数几何学上作出的贡献。 感谢楼主分享～～ 举例子之前都写的不错。后面的口算，速算，奥数有点格格不入？ 鸡路漫漫 发表于 2020-06-18 13:03
问：我是一名初二学生，请问您支持题海战术吗？
许晨阳：一般来讲我不支持题海战术，但我其实是很支持多做数学题的。
因为数学不像看小说，你看一遍就记住了，数学真的需要你拿笔出来算，来思考，你才能完全理解这个理论。可我不喜欢把同样的东西翻来覆去地练习很多遍，我不支持重复地做同样的题，因为这样没有什么太大的意义。但是，如果你需要进行一些训练，做一些题，通过这些题把理论完全掌握，有一个扎实的基础，这个我绝对是支持的。
我印象很深的一件事是，我当时通过数学竞赛进了国家集训队，数学集训队当时一个月大概有10多次小考、1次大考，几乎每两天就有一次小考，我觉得真是挺没意思的，后来集训队上课我就不去听，跑到大学里去跟别人学打太极拳。
我的意思是，当你意识到做很多数学题对你没有什么帮助时，你就不要再做题了。这只是我个人的答案，不算是一个标准答案。
数学学好了奥数就能好吗
问：您当年曾经进过数学竞赛国家集训队，在您看来奥数跟数学的关系是什么样的？是不是数学学好了奥数就能好，或者说奥数学好了数学就能好？你们当年集训队的人现在还有多少人在研究数学？
许晨阳：这个问题有不少人问过我，我以前还专门给国家集训队写过一篇文章，谈我对数学和奥数之间的看法。
我其实对数学竞赛的了解并不多，我唯一一次参加全国级别的数学竞赛是在1999年，最后幸运地入选进了国家集训队。我觉得，参加数学竞赛带给我的最大好处，就是认识了很多志同道合的朋友。我自己从小挺喜欢数学的，但我从没有想过将来要去从事数学研究。我参加奥数比赛的时候认识了很多也同样喜欢数学的孩子，我们经常在一起比赛，他们对我来说起到了一个正面的影响，我也渐渐有了当一名数学家的理想。
当年集训队的队员中，很多人和我都有着比较相似的兴趣爱好，我们有很多共同话题，比如都喜欢科学，除了数学还喜欢物理。我们那一两年参加奥数竞赛的人当中，虽然并不是每个人现在都从事数学研究，但最后成为数学家的比例还是挺高的。
北大数学学院中，大概有一半以上的学生不是通过奥数比赛被招进来的，他们常常来问我：如果以前的奥数不是那么优秀、那么出色的话，对学习大学数学有没有影响？其实从思维方式来讲，我个人觉得奥数与 大学数学 需要完全不同的思维方式。打个比方，奥数就好像是在一个很小的空间里玩一些非常花的技巧；而现代数学是在一个非常大的框架下去思考问题。有的人可能擅长于玩技巧，但也有的人擅长系统化的思考，当然后者更适合进行数学研究。
我的导师科拉曾经两度取得IMO（国际数学奥林匹克竞赛）金牌，但他却是匈牙利IMO队里为数不多的非特殊数学班的选手。我相信这种更加平衡的教育对他日后数学研究上的成功有很大益处。因此我建议对数学竞赛佼佼者进行更全面的教育，把数学竞赛视为整个科学甚至文化教育的一部分，我相信这对他们漫长的人生之路而言，是更有益的教育方式。
奥数对学数学有帮助吗
问：您刚才说数学和奥数是两个概念，那么您觉得对于从事数学研究的人来说，学习一些奥数知识会对事业有帮助吗？
许晨阳：大概在十年前，我有一次看了那年的奥数题，看了5分钟，一道题都不会做，我就放弃了。但是如果你现在让我做任何奥数题，只要给我一个星期的时间，我一定能做出来。
对于数学研究来说，不需要强调速度，而是强调有一个系统性的办法去思考问题；你一旦用系统性的办法去思考奥数题的话，我想一定能够找到答案。这就好像你已经开过100公里的时速，再开20公里的时速，你不会觉得太快。你一旦进行过数学研究之后，你就很难再觉得做奥数题是一件有意思的事情，起码我自己没有这种感觉了。
许晨阳，1981年生，2008年，获得普林斯顿大学博士学位，2013年成为北京国际数学研究中心教授。2017年，许晨阳荣获“未来科学大奖-数学与计算机科学奖”，并获得100万美元奖金，以表彰他在双有理代数几何学上作出的贡献。
这个问答非常中肯。搞过竞赛的人就是这种感觉。 yijingkedong 发表于 2020-06-19 07:14
举例子之前都写的不错。后面的口算，速算，奥数有点格格不入？
奥数就是各种技巧的堆砌
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